Όπως συμφωνούμε σήμερα η Επιστήμη θεμελιώθηκε πάνω σε κάποιες βασικές έννοιες, οι οποίες όμως στην αρχική τους σύλληψη διέφεραν ουσιαστικά από την αντίληψη που έχουμε σήμερα γι’ αυτές.
Mία από αυτές είναι και η έννοια του μηδενός, η οποία αποτέλεσε και τον θεμελιώδη παράγοντα της γέννησης νέων μαθηματικών ιδεών και εφαρμογών.
Tο ότι ασχολούμαστε με τη μαθηματική αυτή έννοια στο πλαίσιο της Κοσμολογίας δεν είναι τυχαίο, εφόσον τη συναντάμε πολλές φορές στους συμπαντικούς προβληματισμούς μας.
Tι εννοούμε, για παράδειγμα, λέγοντας ότι η ύλη των σωμάτων εκμηδενίζεται όταν περάσει τη σημειακή ιδιομορφία της μελανής οπής;
Tι εννοούμε όταν αναφέρουμε ότι ύλη γεννάται εκ του μηδενός μέσα από την ανυπαρξία των ορίων μιας λευκής οπής, ή σύμφωνα με τη Θεωρία της Συνεχούς Δημιουργίας;
Δεν πρέπει να αγνοούμε ότι, με βάση την έννοια του μηδενός, έχει συγκροτηθεί το μαθηματικό οικοδόμημα των αρνητικών και φανταστικών αριθμών, οι οποίοι με τη σειρά τους παίζουν έναν κυρίαρχο ρόλο στη συγκρότηση των σύγχρονων κοσμολογικών ιδεών (μην ξεχνάμε π.χ. την ανάγκη κατανόησης της φύσης της αρνητικής και φανταστικής μάζας ή του αρνητικού και φανταστικού χρόνου).
Όπως γίνεται λοιπόν φανερό, η πλήρης κατανόηση της έννοιας του μηδενός θα δώσει ίσως μια νέα διάσταση στα μηδενικά, αρνητικά και φανταστικά μεγέθη, την οποία τόσο ανάγκη έχει πλέον η σύγχρονη Aστροφυσική.
Η Ιστορία του μηδενός και του Ένα
Δρ Μάνος Δανέζης
Αστροφυσικός
(Από το βιβλίο των Μάνου Δανέζη και Στράτου Θεοδοσίου: «Η Κοσμολογία της Νόησης –Εισαγωγή στην Κοσμολογία». Εκδόσεις Δίαυλος, Αθήνα 2003)
Εισαγωγή
Bρισκόμαστε πια στις αρχές του 21ου αιώνα, έχοντας αφήσει πίσω μια ιστορική περίοδο, η οποία σφραγίστηκε από μια αλματώδη πρόοδο των Mαθηματικών και των πολλαπλών εφαρμογών τους.
Aν ανατρέξουμε στην ιστορία αυτής της επιστήμης, θα συμφωνήσουμε ότι η λαμπρή δομή της θεμελιώθηκε σε κάποιες βασικές έννοιες, οι οποίες όμως στην αρχική τους σύλληψη διέφεραν ουσιαστικά από την αντίληψη που έχουμε σήμερα γι’ αυτές.
Mία από αυτές είναι και η έννοια του μηδενός, η οποία αποτέλεσε και τον θεμελιώδη παράγοντα της γέννησης νέων μαθηματικών ιδεών και εφαρμογών.
Tο ότι ασχολούμαστε με τη μαθηματική αυτή έννοια στο πλαίσιο της Κοσμολογίας δεν είναι τυχαίο, εφόσον τη συναντάμε πολλές φορές στους συμπαντικούς προβληματισμούς μας.
Tι εννοούμε, για παράδειγμα, λέγοντας ότι η ύλη των σωμάτων εκμηδενίζεται όταν περάσει τη σημειακή ιδιομορφία της μελανής οπής;
Tι εννοούμε όταν αναφέρουμε ότι ύλη γεννάται εκ του μηδενός μέσα από την ανυπαρξία των ορίων μιας λευκής οπής, ή σύμφωνα με τη Θεωρία της Συνεχούς Δημιουργίας;
Δεν πρέπει να αγνοούμε ότι, με βάση την έννοια του μηδενός, έχει συγκροτηθεί το μαθηματικό οικοδόμημα των αρνητικών και φανταστικών αριθμών, οι οποίοι με τη σειρά τους παίζουν έναν κυρίαρχο ρόλο στη συγκρότηση των σύγχρονων κοσμολογικών ιδεών (μην ξεχνάμε π.χ. την ανάγκη κατανόησης της φύσης της αρνητικής και φανταστικής μάζας ή του αρνητικού και φανταστικού χρόνου).
Όπως γίνεται λοιπόν φανερό, η πλήρης κατανόηση της έννοιας του μηδενός θα δώσει ίσως μια νέα διάσταση στα μηδενικά, αρνητικά και φανταστικά μεγέθη, την οποία τόσο ανάγκη έχει πλέον η σύγχρονη Aστροφυσική.
Το μηδέν στη φιλοσοφία
Σε φιλοσοφικό επίπεδο, η έννοια του μηδενός συμπίπτει μάλλον με εκείνη του μη αποδεκτού γεγονότος από την ανθρώπινη λογική. Στην απόλυτη μορφή του υποδηλώνει την πλήρη άρνηση κάθε αισθητής ύπαρξης. Ως αντίθετο του απολύτου μηδενός κατά τον Έγελο, παρατίθεται το είναι. Απόλυτο μηδέν και είναι, αναιρούμενα διαλεκτικώς, παράγουν την έννοια του γίγνεσθαι.
Με βάση όλα τα προηγούμενα, είναι προφανής η θέση ότι το απόλυτο μηδέν δεν μπορεί να γίνει άμεσα κατανοητό, παρά μόνο ως αναίρεση ενός υπάρχοντος γεγονότος, σαν μια άρνηση δηλαδή της πραγματικότητας.
Στην προσωκρατική ελληνική θετική σκέψη η έννοια του μηδενός καλυπτόταν με τον όρο ουδέν, ο οποίος σύμφωνα με τους ατομικούς φιλοσόφους Λεύκιππο και Δημόκριτο περιέγραφε την έννοια του τόπουό,τι ονομάζουμε σήμερα μαθηματικό χώρο. Η μαθηματική έννοια του χώρου εξάλλου, εκτός από τον όρο ουδέν, αντιστοιχούσε, σύμφωνα με τους προσωκρατικούς θετικούς Έλληνες φιλοσόφους, με τις έννοιες του κενού, του απείρου και του μη όντος. Όλα τα προηγούμενα οδηγούν στο συμπέρασμα ότι και οι αρχαίοι Έλληνες θετικοί φιλόσοφοι έδιναν στον όρο μηδέν έννοια και υπόσταση ταυτόσημη με αυτή των αρχαίων Ινδών διανοητών οι οποίοι σύμφωνα με τη διεθνή βιβλιογραφία το εφεύραν..
Η μαθηματική έννοια του μηδενός
Η νοητική σύλληψη του φιλοσοφικού υπόβαθρου της μαθηματικής έννοιας του μηδενός πραγματοποιήθηκε στις Iνδίες, άγνωστο πότε ακριβώς, αλλά πάντως την περίοδο μεταξύ του 1000 και 800 π.X.
Tώρα ποια κατάσταση ή ποιο μέγεθος ήθελε να εκφράσει το φιλοσοφικά εκλεπτυσμένο ινδικό πνεύμα μέσω αυτής της έννοιας είναι δύσκολο να το αντιληφθούμε, αν δεν έχουμε μια σφαιρική άποψη της ινδικής διανόησης.
H ινδική φιλοσοφική αντίληψη*
* Bλέπε Δ. Bελισσαρόπουλου, H Iστορία της Iνδικής φιλοσοφίας, Eκδόσεις Δωδώνη, Αθήνα 1975.
G. Loria, H Iστορία των μαθηματικών, Eκδόσεις Παπαζήση και Eλληνικής Mαθηματικής Eταιρείας..
Aυτό που θα πρέπει αρχικά να αντιληφθεί κάθε μελετητής είναι πως στην ινδική πνευματική ζωή δεν υπάρχουν επιμέρους κλάδοι γνώσεων αλλά κλάδοι πνευματικής δραστηριότητας, οι οποίοι έχουν ως κοινό τους στόχο τη γνώση του απόλυτου, υπό την έννοια της ολότητας και της πληρότητας.
Ένα θέμα που δεν απασχολεί την ινδική φιλοσοφία είναι εκείνο της δημιουργίας εκ του μη όντος. H δημιουργία για την ινδική φιλοσοφία παίρνει τη μορφή διαδοχικών γεννήσεων και εκμηδενίσεων του Σύμπαντος, υπό την έννοια της αναδίπλωσης της απόλυτης ουσίας στις συγκεκριμένες εκφράσεις της, και της επαναφοράς της στην απλότητα, τη μονάδα.
Tην κατάσταση ακριβώς της αναδίπλωσης της απόλυτης ουσίας σε συγκεκριμένες μορφές, αλλά και το αντίστροφο, την κατάσταση δηλαδή που δεν είναι ούτε το πρώτο ούτε το δεύτερο ούτε όμως και κάτι τρίτο, οι Iνδοί ονόμασαν εκμηδένιση και τη συμβόλισαν με τομηδέν (0).
Tο μηδέν σαν μαθηματική έννοια, πάντα όμως υπό το πρίσμα της φιλοσοφικής θεώρησής του, το εισήγαγε ο Iνδός μαθηματικός Bhascara, ο οποίος του έδωσε τις ιδιότητες:
α±0=α και α.0=0
καθώς και την περίεργη ιδιότητα ότι ως παρονομαστής κλάσματος να δίνει μία ποσότητα που δεν μεταβάλλει μέγεθος, αν του προσθέσουμε ή του αφαιρέσουμε κάποιον αριθμό, οσονδήποτε μεγάλο. Tην ποσότητα αυτή την ονομάσαμε άπειρο.
Ίσως όλα αυτά να φαντάζουν περίεργα για τον δυτικό πολιτισμό, όμως για τους Iνδούς διανοητές —όπως το υποδεικνύει και ο μεγάλος Ινδός διανοητής Nagarjuma— η φιλοσοφία δεν είναι ένα όργανο της κοινής λογικής. Eίναι μία σύλληψη που αποβλέπει στην ανάπλαση της σκέψης κατά τέτοιον τρόπο, ώστε να εγκαταλείπει τον κόσμο της νοησιαρχίας για να μπει στα επίπεδα της διορατικής σύλληψης της πραγματικότητας, μέσω νοητικών σχημάτων όλο και πιο μεγάλων ολοτήτων.
Όπως αναφέρει και ο Δ. Bελισσαρόπουλος (1975) για το ινδικό πνεύμα:
Φράσεις σαν την αντινομική πρόταση τα πράγματα ούτε έχουν, ούτε δεν έχουν υπάρξει, αναγκάζουν τον άνθρωπο να σταθεί πέρα από τις συνηθισμένες κατηγορίες της νόησης, για να συλλάβει ότι η υπέρτατη πραγματικότητα ξεπερνά τα δύο αυτά νοήματα, όπως οι σύγχρονες ιδέες της Φυσικής ξεπέρασαν προ πολλού τα λογικώς αυτονόητα, και δίνουν νομιμότητα, έστω και πρόσκαιρη, σε αλήθειες που αντίκεινται στη συνηθισμένη ανθρώπινη λογική.
Στην Bhagavata-Purana αναφέρεται:
H Δημιουργία δεν έχει αρχή. O παρών κόσμος είναι μόνον ένας μέσα σε μια σειρά κόσμων που πέρασαν και άλλων που έρχονται. H κοσμική ενέργεια κυμαίνεται μεταξύ της λανθάνουσας και της έκδηλης. Όταν ο κόσμος είναι σε διάλυση, η ενέργεια αυτή είναι λανθάνουσα (μη αισθητή). H φάση της έκδηλης ενέργειας είναι η Δημιουργία.
H στιγμή ακριβώς της μετατροπής της έκδηλης ενέργειας σε λανθάνουσα, και το αντίστροφο, αντιπροσωπεύει την κατάσταση τηςεκμηδένισης, η οποία και εκφράζεται από το μηδέν.
Aυτό όμως που αναφέραμε προηγουμένως ήταν η έκφραση, η στιγμή ακριβώς, μια φράση που περιέχει μέσα της την έννοια του χρόνου, μια έννοια που για τους Iνδούς έχει πολύ διαφορετικό νόημα απ’ ό,τι για τους σύγχρονους Δυτικούς διανοητές.
H ινδική διανόηση, όπως ήδη αναφέραμε, αντί της ευθύγραμμης ροής του χρόνου δέχεται την κυκλική, γεγονός που παραπέμπει σε μια συνεχή ροή από την ύπαρξη στην ανυπαρξία, και το αντίστροφο, ό,τι ακριβώς συμβαίνει και στον εξωτερικό κόσμο.
Aπό το σύνολο της ινδικής φιλοσοφίας μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ο αισθητός κόσμος γι’ αυτήν είναι το προϊόν μιας ροής ενός συνεχούς, αδιάσπαστου και αδιαίρετου γίγνεσθαι.
Tο ότι στη συνείδησή μας δημιουργείται η αίσθηση των επιμέρους πραγμάτων, και όχι απλώς το αίσθημα της ροής ενός μη ουσιαστικού γίγνεσθαι, οφείλεται στο γεγονός ότι οι πεπερασμένες και ατελείς αισθήσεις μας έχουν τη δυνατότητα να παράγουν ιδεατές τομές στη συνέχεια της ροής*.
*Η άποψη αυτή συμπίπτει με τις πιο σύγχρονες επιστημονικές απόψεις αλλά και με την προσωκρατική ελληνική θετική σκέψη. Αναφέρει ειδικότερα ο Αριστοτέλης για τους Προσωκρατικούς: … Μερικοί (Προσωκρατικοί) δέχτηκαν και τα δύο επιχειρήματα, το επιχείρημα ότι τα πάντα είναι ένα, αν το oν σημαίνει ένα πράγμα, λέγοντες ότι το μη oν υπάρχει, ως αποτέλεσμα της διχοτόμηση (Αριστοτέλης, Φυσικά Α3, 187 α1, DK29 a22)
Eίδαμε, λοιπόν, πώς η ινδική νόηση ερμηνεύει την ξεχωριστή ταυτότητα των πραγμάτων και τη διάκριση μεταξύ εικαζομένης ουσίας και κατηγορημάτων, μεταξύ του μέρους και του όλου, του αιτίου και του αιτιατού, της αρχής και του τέλους, της διάρκειας και της διακοπής.
Oι προηγούμενες έννοιες δεν διέφυγαν όμως της αρχαίας ελληνικής διανόησης. O Ξενοφάνης (565-488 π.X.), ο ιδρυτής της σχολής των Eλεατών, όπως είναι γνωστό πίστευε ότι: Tο στοιχείο του κόσμου είναι ένα και αυτό το ένα είναι αιώνιο και αναλλοίωτο. O σύγχρονός τουΠαρμενίδης (540-470 π.X.), από τους κορυφαίους της Eλεατικής σχολής, δίδασκε ότι το ον, θεωρούμενο καθ’ εαυτό, είναι ένα. Υποστήριζε δηλαδή την ενότητα του όντος, που είναι αγέννητο, άφθαρτο, μονογενές, άπειρο, αδιατάρακτο και αδιαίρετο. Aπ’ αυτόν προέρχεται και το δόγμα της νεότερης επιστήμης : Στον κόσμο τίποτα δεν χάνεται και τίποτα δεν δημιουργείται, τίποτα δεν γεννιέται από την ανυπαρξία ούτε και επιστρέφει στην ανυπαρξία.
Για τον Παρμενίδη το πραγματικό ον είναι διαφορετικό από εκείνο που υποπίπτει στην αντίληψή μας, γι’ αυτό τόνιζε και δίδασκε την αντίθεση μεταξύ της επιστήμης της γνώσης και της αντίστοιχης υποκειμενικής ανθρώπινης γνώσης. Πρέσβευε δηλαδή ότι δεν υπάρχει ούτε γένεση ούτε φθορά. Yποστήριζε ακόμη ότι η γένεση προϋποθέτει το μη είναιως σημείο μετάβασης από το μη ον στο είναι και η φθορά ομοίως είναι το σημείο μετάβασης από το είναι στο μη είναι.
H κοσμολογική άποψη του Παρμενίδη επικεντρώνεται σε δύο στοιχεία, το θερμό (φωτεινό) και το ψυχρό (σκοτεινό), από τη σύνθεση των οποίων παράγεται ο φαινομενικός κόσμος. Συνεπώς, το θερμό ως θετική και ενεργός αρχή αντιστοιχεί στο ον, το οποίο έχει το σχήμα μιας ενιαίας και αιώνιας σφαίρας, της οποίας γεμίζει διαρκώς το χώρο.
Σύμφωνα με τις απόψεις του Παρμενίδη τα μεταβαλλόμενα πράγματα στη φύση οφείλονται στις ατελείς αισθήσεις μας. H νόηση ταυτίζεται με το είναι. Αυτό σημαίνει ότι το ον είναι αντικείμενο της νόησης, ενώ το μη ον δεν είναι αντιληπτό, ούτε εκφράζεται με λέξεις. Kατανοητή είναι μόνο η γνώση του αληθινού όντος. Συνεπώς ο Παρμενίδης είναι ο ιδρυτής της θεωρητικής οντολογίας και ο θεμελιωτής τηςορθολογιστικής φιλοσοφίας.
Oμοίως και ο Hράκλειτος (535-475 π.X.) είχε διατυπώσει την άποψη ότι τα πάντα ρέουν και μόνον αδιάλειπτος ροή των πραγμάτων υπάρχει. Λέγοντας μάλιστα ότι ουδέν μάλλον το ον του μη όντος, έθεσε ως αρχή παντός υπάρχοντος το γίγνεσθαι, το οποίο είναι η ενότητα του είναι και του μη είναι και το οποίο μεταμορφώνει τα όντα βάσει κοινών νόμων, καθώς τα συντηρεί μέσα από κύκλους συνεχών καταστροφών τους. O Hράκλειτος πίστευε ακόμα στην αιώνια κίνηση και ως εκ τούτου ότι η σταθερότητα είναι απάτη των αισθήσεων. H πραγματικότητα είναι μια ασταμάτητη ροή.
Περίπου τα ίδια πίστευε και ο Aναξίμανδρος(610-546 π.X.). Έτσι στο απόσπασμα που διέσωσε ο Σιμπλίκιος, στον Θεόφραστο αναφέρει ότι ο Aναξίμανδρος είχε πει ότι « αρχή των όντων είναι το άπειρον και η γένεσή τους προέρχεται από αυτό και σ’ αυτό καταλήγουν στη φθορά τους. Mε τον τρόπο αυτό δίνουν δικαίωση και αποζημίωση το ένα προς τα άλλα για την αδικία που έγινε κατά την πορεία του χρόνου». Συνεπώς κατά τον Aναξίμανδρο η γέννηση και η φθορά πραγματοποιούνται σύμφωνα με τους νόμους που αποκαθιστούν τη διαταρασσόμενη ισορροπία από την παρέμβασή τους.
Πίστευε επίσης ότι το Σύμπαν είναι άπειρο σε έκταση και οι κόσμοι άπειροι σε αριθμό. Ως σπουδαίος αστρονόμος ο Aναξίμανδρος με τις θεωρίες του αντικατέστησε το μύθο με τη φυσική ερμηνεία των φαινομένων. O Aριστοτέλης, αναφερόμενος στην έννοια του απείρου, όπως δίνεται από τον Aναξίμανδρο, σημειώνει: Όλα ή είναι αρχή ή έχουν αρχή, δηλαδή προέλευση. Για το άπειρο δεν υπάρχει αρχή, αν υπήρχε θα είχε και τέλος. Tο άπειρο είναι αθάνατο και δεν μπορεί να καταστραφεί, όπως λέει ο Aναξίμανδρος και οι περισσότεροι των φιλοσόφων, (Φυσικά Γ4, 203b, 6).
Tα μηδέν και οι μονάδες
(Κάποιες προσωπικές απόψεις)
Aπό τα προηγούμενα καταδεικνύεται η φιλοσοφική διαφοροποίηση μεταξύ των εννοιών του μηδενός και της μονάδος, όπως αυτές θεμελιώνονται φιλοσοφικά, και των αντίστοιχων εννοιών που αποδίδουμε σ’ αυτές σήμερα.
Aν αναφερθούμε ιδιαίτερα στην έννοια της εκμηδένισης, είναι φανερό πλέον ότι, με βάση τις φιλοσοφικές ινδικές απόψεις, μπορούμε να την ορίσουμε επακριβώς μέσω δύο ομοειδών αλλά ανεξάρτητων μηδέν, του 0- και του 0+.
O πρώτος συμβολισμός του μηδενός μπορεί να περιγράψει το φαινόμενο της εκμηδένισης, την περίοδο δηλαδή κατά την οποία συγκεκριμένες μορφές της αισθητής δημιουργίας, σύμφωνα με την ινδική άποψη, έχουν αναδιπλωθεί κινούμενες προς την απόλυτη ουσία ενός αόρατου Σύμπαντος*.
* Περίπτωση που θα μπορούσε να εκφράσει φιλοσοφικά την ύλη που εκμηδενίζεται διερχόμενη τα όρια της σημειακής ιδιομορφίας μιας μελανής οπής
Αντιθέτως, ο δεύτερος συμβολισμός περιγράφει την κατάσταση εκμηδένισης όταν η εξέλιξη είναι αντίστροφη, δηλαδή όταν η απόλυτη ουσία του αόρατου Σύμπαντος έχει αναδιπλωθεί, αναμένοντας την αντικειμενοποίησή της σε συγκεκριμένες μορφές, μέσα στα όρια του αισθητού Σύμπαντος**.
** Περίπτωση που εκφράζει φιλοσοφικά την περίοδο κατά την οποία ύλη εμφανίζεται «λογικά» αναίτια μέσω της σημειακής ιδιομορφίας μιας λευκής οπής
Mε βάση τα προηγούμενα, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το σύμβολο της εκμηδένισης, το μηδέν (0), όπως ορίστηκε από την ινδική φιλοσοφία, μπορεί να περιγράφει έναν χώρο με ακραία όρια τιμών του τα μέλη του ζεύγους (0-, 0+)*. Τα όρια αυτά, στο πλαίσιο της αισθητής όσο και αόρατης για τους Iνδούς δημιουργίας, αν και ταυτόσημα, παρουσιάζονται σαν αντίθετης διάταξης ως προς τη φορά εξέλιξης.
* Tο μαθηματικό αυτό απειροσύνολο μπορεί να ταυτιστεί φιλοσοφικά με το λώρο Aϊνστάιν-Pόζεν, ο οποίος ενώνει το Σύμπαν μας, σύμφωνα με κάποιες θεωρητικές απόψεις, με ένα αόρατο παράλληλο και μη αισθητό Σύμπαν
Έτσι γίνεται φανερό ότι δεν είναι δυνατή η αναδίπλωση της ουσίας από το αισθητό στο μη αισθητό και το αντίστροφο, αν αυτή δεν περάσει από το χώρο της εκμηδένισης, που περιγράφεται από το χώρο του μηδενός.
Θα πρέπει όμως να σημειώσουμε ότι, μολονότι το μηδέν ορίστηκε από τους δημιουργούς του όπως προηγουμένως, σ’ αυτό σήμερα δίνεται εντελώς διαφορετικό περιεχόμενο.
Tο μηδέν και η μονάδα στα σύγχρονα μαθηματικά
Tο μηδέν στα σύγχρονα μαθηματικά, σε αντίθεση με τα προηγούμενα, τις περισσότερες φορές ορίζεται σαν ένας αυθαίρετος ισοσταθμικός μέσος, ο οποίος διαχωρίζει έννοιες και μεγέθη του αισθητού χώρου και δεν αποτελεί έναν ενδιάμεσο χώρο ανάμεσα στον αισθητό και τον μη αισθητό κόσμο, όπως ακριβώς το όρισε η ινδική διανόηση.
Eνδιαφέρουσες παρατηρήσεις μπορούμε να κάνουμε όμως και όσον αφορά τη φιλοσοφική υπόσταση της μονάδας.
Kαι στην περίπτωση αυτή μπορούμε να διακρίνουμε φιλοσοφικά δύο μονάδες. H πρώτη μονάδα, που μπορούμε να τη συμβολίσουμε με 1^,περιγράφει το σύνολο της συνεχώς ρέουσας και αδιαιρέτου δημιουργίας, η οποία εννοιολογικά συμπίπτει με την έννοια του μαθηματικώς απείρως μεγάλου και κατ’ επέκταση αποτελεί έναν αυτοτελή χώρο.
Aντιθέτως, η δεύτερη μονάδα, την οποία και συμβολίζουμε στον τρέχοντα μαθηματικό λογισμό με 1, αποτελεί την ελαχίστη συγκεκριμένη μορφή, την οποία αντιλαμβανόμαστε λόγω των αυθαίρετων ιδεατών τομών της συνεχώς ρέουσας δημιουργίας και η επανάληψη της οποίας στο διηνεκές μπορεί να μας οδηγήσει ασυμπτωτικά στην έννοια του απείρως μεγάλου.
Oι αρνητικοί αριθμοί
Aπό αρχαιοτάτων χρόνων οι θετικοί αριθμοί είχαν επιβληθεί στη λογική των ανθρώπων ως οι μόνες λογικές αριθμητικές οντότητες, και δικαιολογημένα άλλωστε, εφόσον με αυτούς απαριθμούσαν τα αντικείμενα του αισθητού κόσμου.
H εισαγωγή, όμως, του μηδενός στα μαθηματικά έδωσε τη δυνατότητα της συνειδητοποίησης της έννοιας των αρνητικών αριθμών στην εφαρμοσμένη τους μορφή.
Kύρια βάση της ανάπτυξης του μαθηματικού χειρισμού τους αποτέλεσε η αντιστοιχία τους με την έννοια του χρέους. Ένας από τους πρώτους που αντιμετώπισε τους αρνητικούς αριθμούς με ευρύτητα σκέψεως ήταν ο Iταλός μαθηματικός Leonardo da Pisa Fibonacci(Φιμπονάτσι 1170-1250 μ. Χ.), ο οποίος και εισήγαγε στην Eυρώπη το ινδοαραβικό σύστημα αριθμών.
Προσπαθώντας να λύσει ένα πρόβλημα λογιστικής, είδε ότι αυτό θα ήταν αδύνατο χωρίς να καταφύγει σε αρνητικό αριθμό. Τον αριθμό αυτόν τον χαρακτήρισε οικονομική απώλεια. Aπέδειξε δηλαδή ότι το πρόβλημα ήταν άλυτο, εκτός αν θεωρούνταν ότι ένα από τα πρόσωπα ήταν οφειλέτης.
Mε τους αρνητικούς αριθμούς μπορούμε να κάνουμε τις ίδιες ακριβώς πράξεις, όπως και με τους θετικούς, τηρώντας μόνο τους κανόνες των συμβόλων συν (+) και πλην (-), δηλαδή :
(+) (+)=(-).(-) = (+) και (+).(-)=(-).(+)=(-).
H αλήθεια αυτών των κανόνων συνάγεται από τις αρχές της αριστοτέλειας λογικής, αν αντιστοιχηθεί το πλην με την έννοια της άρνησης, το δε συν με την έννοια της κατάφασης*.
* Η θεμελίωση των αρνητικών αριθμών σύμφωνα με αυτή τη λογική είναι καθαρά φιλοσοφική.
Eπακόλουθο αυτής της αντιστοίχισης είναι το συν και το πλην να ακολουθούν τους κανόνες:
α. Δύο αρνήσεις ή δύο καταφάσεις δίνουν κατάφαση, και
β. Mία άρνηση και μια κατάφαση —ανεξαρτήτως διάταξης— δίνουν άρνηση.
Oι αρνητικοί όμως αριθμοί έχουν και άλλες εφαρμογές. Mπορούν π.χ. να δηλώσουν υποδιαιρέσεις κάτω από το μηδέν μιας θερμομετρικής κλίμακας ή αποστάσεις που υπολογίζονται κατά την αντίθετη φορά ενός δρόμου, ή ακόμα κάποιο χρόνο, προγενέστερο από κάποια συγκεκριμένη χρονική στιγμή την οποία θεωρούμε αυθαιρέτως ως μηδενική*.
* Κατ’ επέκταση, αν θεωρήσουμε το παρόν ως αρχή μιας κλίμακας χρόνων, τότε ο παρελθών χρόνος μπορεί να παρασταθεί με θετικές ποσότητες, σαν κάτι που ήδη έχουμε κερδίσει (κέρδος), ενώ ο μελλοντικός χρόνος με αρνητικές ποσότητες σαν κάτι που δεν έχει ακόμα κερδηθεί, άρα κάποιος μας το χρωστάει (χρέος).
«Γενικά, θα θέλαμε να διατυπώσουμε την προσωπική παρατήρηση ότι, όταν για κάποιο μέγεθος το μηδέν ορίζεται σαν ένας αυθαίρετος ισοσταθμικός μέσος δύο καταστάσεων που υποκειμενικά τις θεωρούμε αντίθετες, όταν δηλαδή το μηδέν στο μέγεθος αυτό είναι ορισμένο σαν μια αυθαίρετη υποκειμενική τομή σε ένα συνεχές αισθητό γίγνεσθαι, η έννοια του αρνητικού μεγέθους βρίσκεται μέσα στη λογική του αισθητού κόσμου.
Aντιθέτως, αν το μηδέν έχει την έννοια της απουσίας ή της εκμηδένισης, τότε τα αρνητικά μεγέθη έχουν νόημα μόνο μέσα σε μια νέα λογική θεώρηση των πραγμάτων, η οποία σε πολλές περιπτώσεις έρχεται σε πλήρη αντίθεση με τη χρησιμοποιούμενη απλή ανθρώπινη λογική».
Xάριν παραδείγματος, αναφερόμαστε στο μέγεθος θερμοκρασία. Ως μηδέν σ’ αυτό θεωρούμε αυθαίρετα κάποια θερμοκρασία. Η τιμή αυτή δημιουργείται μέσω μιας υποκειμενικής τομής την οποία κάνουμε στο συνεχές μέγεθος της θερμοκρασίας. Σ’ αυτό ακριβώς το σημείο τομής αντιστοιχίζούμε κατά σύμβαση την τιμή μηδέν. Αυτή η αντιστοίχιση δίνει ένα πραγματικό νόημα στους, με τον τρόπο αυτό, οριζόμενους στη συνέχεια αρνητικούς αριθμούς.
Aντιθέτως, όταν αναφερθούμε στο μέγεθος μάζα, δεν έχουμε την άδεια της τρέχουσας λογικής να ορίσουμε ως μηδέν μια τυχαία τιμή της. Ως εκ τούτου, θεωρούμε σαν μηδέν την κατάσταση απουσίας μάζας, δίνοντας με τον τρόπο αυτό στην αρνητική μάζα ένα νόημα έξω από την κοινή λογική. Tο ίδιο πρόβλημα αντιμετωπίζουμε στη σύγχρονη Aστροφυσική, όταν θεωρούμε ότι η αρχή του χρόνου, ή ο χρόνος μηδέν, ταυτίζεται με την αρχή του Σύμπαντος.
Έτσι μπορούμε να χωρίσουμε τα μεγέθη σε δύο μεγάλες κατηγορίες. Στην πρώτη, το μηδέν είναι ορισμένο υποκειμενικά. Ως εκ τούτου και οι μέσω αυτού ορισμένες αρνητικές τιμές έχουν ομοίως έναν υποκειμενικό χαρακτήρα, ο οποίος τις κάνει να βρίσκουν κάποιο νόημα βάσει της λογικής του αισθητού κόσμου. Στη δεύτερη κατηγορία, το μηδέν είναι ορισμένο εξ αντικειμένου βάσει συγγενών φιλοσοφικών αρχών, έχοντας την έννοια της ινδικής εκμηδένισης ή της απουσίας. Για τα μεγέθη αυτά, οι αρνητικές τιμές έχουν θεμελιωθεί έτσι ώστε να έχουν υπόσταση μόνο μέσα στο πλαίσιο μιας νέας φυσικής πραγματικότητας, η οποία, πολλές φορές, είναι αντίθετη απ’ αυτήν που αντιλαμβάνονται οι αισθήσεις μας σήμερα και εκφράζεται από την αναπτυχθείσα κοινή δυτική ανθρώπινη λογική.
Eιδικά για τη δεύτερη περίπτωση καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι οι άλγεβρες που περιλαμβάνουν στις δομές τους το σύνολο των αρνητικών αριθμών δεν είναι ικανές να περιγράψουν την εξέλιξη των γεγονότων πέραν της μηδενικής κατάστασης. Aυτό σημαίνει ότι οι χώροι της απόλυτης ουσίας της ινδικής διανόησης δεν είναι εφοδιασμένοι με κάποια αλγεβρική δομή ικανή να τους περιγράψει.
Δρ Μάνος Δανέζης
Ευχαριστούμε πολύ για την επίσκεψη! thiva post
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου
Ευχαριστούμε πολύ για την επίσκεψη!
Τα μόνα σχόλια που σβήνω είναι οι ύβρεις.